10.3. THÉORÈME DU POINT FIXE POUR UN ESPACE MÉTRIQUE COMPACT
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Si f (l) était différent de l, nous aurions
d(f (l), f (f (l))) < d(l, f (l)) = min d(x, f (x) ),
xEE
ce qui est impossible. Nous avons établi l'existence d'un point fixe.
Soient l et l' points fixes de l'application f. On a
d(f(l), f(l')) = d(l, l')
d'où
l = l'.
f admet donc un unique point fixe que l'on notera l. On considère une suite
(un)nEN définie par
{
Uo E E,
VnEN,
et la suite (vn)nEN définie par,
Vn EN, Vn = d(un, l).
Cette dernière suite est décroissante. En effet, soit n un entier naturel.
1. Si Un -:/:- l,
d(un+i.l) = d(f(un),f(l)) < d(un,l).
2. Si Un= l,
d(un+l• l) = d(un, l) =O.
Cette suite est minorée par 0, donc convergente vers un réel que l'on note a:.
L'espace métrique E étant compact, nous pouvons considérer (urp(n)) une suite
extraite de la suite (un)nEN, convergente vers un élément de E que l'on note li.
Nous avons,
a= lim Vrp(n) = lim d(urp(n)> l) = d(li, l),
n-++oo
n-++oo
et
a= lim Vrp(n)+l= lim d(urp(n)+1,l)= lim d(f(urp(n)),l)=d(f(li),l).
n-++oo
n-++oo
n-++oo
D'après les hypothèses du théorème, nous obtenons
a= d(li, l) = d(f(li), f(l)) =O.
On en déduit que la suite (vn)nEN est convergente vers 0 et que la suite (un)nEN
converge vers l'unique point fixe l.
Remarque 10.2 Remarquons que le théorème tombe en défaut si nous remplaçons
dans l'hypothèse « compact» par « complet». Choisissons E = JR+. On considère
l'application f définie par
f : JR+ ---+ JR+
1
X
f-----t
X + x+l
En dérivant cette fonction et en utilisant l'inégalité des accroissements finis, on
remarque qu'elle vérifie l'hypothèse 10.5 mais n'admet pas de point fixe.