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SUITES DÉFINIES PAR UNE RÉCURRENCE
Nous remarquons que f(l) est point fixe de fP. Celui-ci étant unique, on obtient
f(l) = l. D'autre part, f ne peut avoir deux points fixes distincts car tout point
fixe de f est point fixe de fP. Considérons une suite d'éléments de E définie pàr
{
uo E E,
Vn EN, Un+l = f(un)·
Considérons, pour tout entier r compris entre 0 et (p - 1), la suite extraite
Nous remarquons qu'une telle suite peut être définie par son premier terme Ur et
par la relation de récurrence d'ordre 1
Vn EN, U(n+l)p+r = JP(unp+r)·
On en déduit que, pour tout entier r compris entre 0 et (p - 1), la suite extraite
(unp+r)nEN est convergente vers l. Le résultat de l'exercice 10.2 nous permet de
dire que la suite (un)nEN est convergente vers l.
.ft
10.3 Théorème du point fixe
pour un espace métrique compact
Théorème 10.3 (Du point fixe) On considère (E, d) un espace métrique compact et une application f : E --t E tels que
V(x,y) E E 2 , x =fa y:::} d(f(x),f(y)) < d(x,y).
(10.5)
Alors f admet un unique point fixe et toute suite de la forme
{
Uo E E,
Vn EN, Un+i = f(un),
est convergente vers ce point fixe.
Preuve. Établissons dans un premier temps l'existence et l'unicité du point fixe.
Considérons l'application g définie sur Epar
g: E - - t R.
x i-----t d(x, f(x)).
L'application f est continue car lipschitzienne. L'application g est donc également
continue sur E espace métrique compact. Elle est ainsi bornée et atteint ses bornes.
Considérons un élément l de E vérifiant
mind(x,f(x)) = d(l,f(l)).
xEE