10.2. THÉORÈME DU POINT FIXE POUR UN ESPACE MÉTRIQUE COMPLET
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Ainsi, f (l) = l et l est un point fixe.
Unicité du point fixe.
Considérons x et y deux points fixes de l'application f. Ces deux éléments vérifient
d(x, y) :::; kd(x, y),
donc
(1 - k)d(x, y) :::; 0
le réel (1- k) étant strictement positif, on a d(x,y):::; 0, c'est-à-dire x =y.
.ft
Voici un exercice préliminaire à la preuve de la proposition 10.2.
Exercice 10.2 Soient p un entier strictement positif, l un élément de E et (un)nEN
une suite d'éléments de E tels que pour tout r E {O, · · · ,p - 1} la suite extraite
(unp+r)nEN converge vers l. Montrer que la suite (un)nEN converge vers l.
Solution. Soit e un réel strictement positif :
' Soit
Nous obtenons
' La proposition suivante sera, en particulier, utilisée dans les chapitres 25,
26 et 27 pour établir l'existence et l'unicité de solutions de certaines équations
différentielles, solutions vérifiant des conditions initiales (Condition de Cauchy).
Proposition 10.2 Soient (E, d) un espace métrique complet, p un entier strictement positif et f : E - t E tels que l'application fP = f o ···of soit contrac...____.,
p fois
tante. Alors f admet un unique point fixe et toute suite de la forme
{
uo E E,
' est convergente vers ce point fixe.
Preuve. D'après le théorème précédent, l'application fP admet un point fixe
unique que l'on notera l. Montrons que cet élément est également unique point
fixe de l'application f. On a
f(l) = f(jP(l)) = fP+l(l) = jP(j(l)).