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SUITES DÉFINIES PAR UNE RÉCURRENCE
10.2 Théorème du point fixe
pour un espace métrique complet
Théorème 10.1 (Du point fixe) Soit ( E, d) un espace métrique complet et une
application f : E ---+ E une application contractante, c'est-à-dire qu'il existe un
réel k E [O, 1 [ vérifiant
'r/(x,y) E E 2 , d(f(x),f(y)):::; k.d(x,y).
Alors f admet un unique point fixe et toute suite de la forme
{
uo E E,
'r/n EN, Un+i = f(un),
est convergente vers ce point fixe.
Preuve. Existence du point fixe.
On considère ( Un)neN une suite de E définie par uo élément de E et
'r/n EN, Un+i = f(un)·
Montrons que cette suite est de Cauchy. Par une récurrence évidente, on obtient
Pour tous entiers positifs pet q tels que p > q, on a
p-1
p-1
d(uq, Up) ::=; L d(un+l, Un) ::=; L knd(u1, uo)
n=q
n=q
1 - kp-q
1
= d(u1,uo)kq 1 _ k :::; d(u1,uo)kq 1 _ k'
Cette dernière suite converge vers 0 lorsque q tend vers +oo. Soit c un réel strictement positif. Il existe un naturel N vérifiant,
'r/n;::: N, 0:::; d(u1, uo)kn 1 ~ k < €.
D'où,
'r/p;::: N, 'r/q;::: N, d(up,uq) < c.
La suite (un)nEN est de Cauchy donc convergente car (E, d) est un espace métrique
complet. Notons l sa limite. D'une part
lim Un+i = l.
n-++oo
D'autre part l'application f est continue car lipschitzienne. Ainsi,
lim Un+i = lim f(un) = f(l).
n-++oo
n-++oo