10.1. DÉFINITIONS, EXEMPLES
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2. (a) Notons (vn)(nEN)• la suite définie par
VnEN,
D'après l'hypothèse, cette suite est convergente vers 1.
Soit l une valeur d'adhérence de la suite (un)(nEN)· On considère une
suite extraite (ucp{n)){nEN) convergente vers l. La relation
\:/n EN, U2cp(n) = 2(vcp(n) - Ucp(n))
permet de dire que la suite (u2cp(n))(nEN) est convergente vers 2(1 - l).
Ce réel est donc valeur d'adhérence de la suite (un)(nEN)·
(b) On peut effectuer une preuve par récurrence évidente en utilisant le
résultat précédent.
(c) La suite (un)(nEN) étant bornée, elle est incluse dans une boule fermée
de lR donc un compact de IR. Ainsi,
- la suite (un)(nEN) admet au moins une valeur d'adhérence,
- l'ensemble de ces valeurs d'adhérence est bornée.
Si un réel différent de ~ était valeur d'adhérence de la suite, il existerait
une suite non bornée de valeurs d'adhérence, ce qui est impossible. Le
réel ~ est donc l'unique valeur d'adhérence. En utilisant la proposition
7.10 page 73, on en déduit que la suite (un)(nEN) est convergente vers~·
10.1.2 Suites récurrentes d'ordre k (k EN*)
Définition : Soit E un ensemble non vide. Une suite (un)nEN est dite
récurrente d'ordre k (k EN*) si on peut la définir de la manière suivante,
{
(uo, ui, · · · , Uk-1) E Ek,
\:/n EN, Un+k = f(un, Un+l, · · · , Un+k-1),
où f est une application définie sur Ek à valeurs dans E.
Exemple : On considère la suite ( un)nEN définie par
{
Uo = Ü,
U1 = -1
VnEN,
On vérifie que