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SUITES DÉFINIES PAR UNE RÉCURRENCE
n=k+l
l
l+l
~
-q
L....t Un= Uk l -
n=k
q
si q-::/= 1,
n=k+l
V(k,l) E N 2 ,
L Un= uo(l + 1) si q = 1.
n=k
3. Suites arithmético-géométriques. On appelle ainsi les suites ( un)(nEN) vérifiant
une relation de récurrence de la forme Un+l = aun + b où (a, b) E IR 2 . Pour
l'étude de ce type de suites, si a est différent de 1, on pourra utiliser le réel
l~a unique point fixe de l'application x 1---t ax + b. On peut ainsi vérifier que
la suite (un - 1 ~ )
est géométrique de raison a :
a nEN
Exercice 10.1
1. On considère une suite (ln)(nEN) définie par
{
lo E lR
\:ln EN,
ln+l = 2(1 - ln)·
Indiquer le comportement asymptotique de cette suite suivant les valeurs du réel
lo.
2. On considère une suite bornée ( un)(nEN) vérifiant :
lim (un+ U 2 n) = 1.
n-++oo
2
Le but de cette question est de montrer que la suite (un)(nEN) est convergente
2
vers 3 .
(a) Montrer que si un réel lest valeur d'adhérence de (un)(nEN) alors le réel
2(1 - l) est également valeur d'adhérence.
(b) En déduire, en reprenant la suite (ln)(nEN) de la question 1, que si l 0 est
valeur d'adhérence de (un)(nEN)• alors pour tout entier naturel n, ln est
valeur d'adhérence de la suite ( un)(nEN).
(c) Conclure.
Solution.
1. Le réel ~ est point fixe de l'application x 1---t 2(1 - x). Ainsi la suite (ln -
~ )(nEN) est une suite géométrique de raison (-2).
\:ln EN, ln - ~ = (-2)n(lo - ~).
On en déduit que si lo -::/= ~' alors la suite (ln)(nEN) est non bornée avec
lim llnl = +oo.
n-++oo
Si lo = ~, la suite est constante et égale à ~.