Chapitre 10
Suites définies par une récurrence
10.1 Définitions, exemples
10.1.1 Suites récurrentes d'ordre 1
Définition : Soit E un ensemble non vide. Une suite (un)nEN est dite
récurrente d'ordre 1 si on peut la définir de la manière suivante,
{
Uo E E,
Vn EN, Un+l = f(un),
(10.4)
où f est une application définie sur E à valeurs dans E.
Remarque 10.1 Attention. Il est important de noter que l'application f est à
valeurs dans son ensemble de définition. Ceci est nécessaire pour que la suite soit
bien définie.
Exemples
1. Suites arithmétiques. On appelle ainsi les suites (un)(nEN) vérifiant une relation de récurrence de la forme Un+i =Un +a où a ER On dit que (un)(nEN)
est une suite arithmétique de raison a. On a
Vn E N, Un = Uo +na,
V(k,l) E N 2 ,
n=k+l
l
L Un= 2(l + l)(uk + Uk+l)·
n=k
2. Suites géométriques. On appelle ainsi les suites (un)(nEJ\I) vérifiant une relation de récurrence de la forme Un+i = qun où q ER On dit que (un)(nEN)
est une suite géométrique de raison q. On a