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COMPARAISON LOCALE OU ASYMPTOTIQUE DE FONCTIONS
où Rn est constitué des termes du produit PnQn de degré inférieur ou égal
à n et Tn est constitué des termes du produit PnQn de degré strictement
supérieur à n. D'après la remarque précédente,
Ainsi,
D'où le résultat.
3. Nous avons
f(y) = P(y) + (y)nc(y)
avec limy_,o c(y) =O. Donc,
(! o g)(x) = P(g(x)) + (g(x)tc(g(x))
(a) En utilisant la propriété précédente, on montre simplement par récurrence
que pour tout entier k strictement positif, l'application x ~ (g(x))k admet un développement limité à l'ordre n, dont la partie régulière est le
polynôme Q~ tronqué à l'ordre n.
On en déduit que l'application x ~ P(g(x)) admet un développement
limité à l'ordre n dont la partie régulière est le polynôme Pn oQn tronqué
à l'ordre n.
(b) D'après la proposition 9.14,
g(x) = xg'(O) + Xc1(x)
Ainsi,
(g(x)t c(g(x)) = xn (g'(O) + c1(x)t c (g(x)).
Notons c2 l'application définie par
c2(x) = (g'(O) + c1(x)t c (g(x)).
L'application g étant continue en 0 avec g(O) = 0, nous en déduisons
que c2 admet une limite nulle en O. Ainsi,
ce qui termine la preuve.