9.3. DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS
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Cette application est dérivable sur 1 avec
Soit x un réel vérifiant lxl < a. En appliquant l'inégalité des accroissements finis
(théorème 8.18 page 112) au segment [O, x] si x est positif, et au segment [x, O] si
x est négatif, nous obtenons
1 n+lj
llf(x)-P(x)ll:::; ê:+l.
On en déduit le résultat
f(x) - P(x) = o(xn+l).
Exemples : Soit n un entier strictement positif. En utilisant les exemples de la
page 125, nous obtenons,
n
k+l
n+l
k
ln(l +x) = "'(-l)k_x_ +o(xn+I) = "'(-l)k+l~ +o(xn+l).
L....!
k+l
L....!
k
k=O
k=l
n
x2k+l
arctanx = "'(-l)k _ _ + o(x 2 n+ 2 ).
~
2k+l
Proposition 9.16 Soient f et g deux fonctions à valeurs réelles admettant
des DL à l'ordre n en 0, ayant pour parties régulières respectives les polynômes
Pn(x) = ao + aix + · · · + anxn et Qn(x) = bo + bix + · · · + bnxn.
1. Linéarité : si À et µ sont deux constantes, la fonction Àf + µg admet un
développement limité à l'ordre n dont la partie régulière est ÀPn + µQn.
2. Produit: la fonction fg admet un développement limité à l'ordre n dont
la partie régulière est le produit PnQn tronqué à l'ordre n {cela signifie
que l'on ne conserve que les termes dont le degré est inférieur ou égal
à n).
3. Composition : Si g(O) = 0 alors la fonction composée f o g admet un
développement limité à l'ordre n dont la partie régulière est le polynôme
Pn o Qn tronqué à l'ordre n.
Preuve.
1. Évident
2. Remarquons que pour tout entier p strictement supérieur à n, nous avons
xP = xP-nxn = o(xn).
Décomposons le polynôme PnQn tel que
PnQn = Rn + Tni