128
COMPARAISON LOCALE OU ASYMPTOTIQUE DE FONCTIONS
Proposition 9.14 Soit n un entier strictement positif. Si f admet un
développement limité d'ordre n au voisinage de 0
alors f (0) = ao, f est dérivable en 0 et f' (0) = ai.
Preuve. Soit f une application admettant un développement limité d'ordre n au
voisinage de 0
Nous remarquons que, pour tout entier k supérieur ou égal à 2,
On en déduit que
f(x) = ao + aix + o(x).
l'application f admet un développement limité d'ordre 1. Le résultat est obtenu
en utilisant la proposition 8.1, page 91.
•
9.3.3 Opérations sur les développements limités
Proposition 9.15 Soit n un entier strictement positif. Soit f : I --+ E
une application dérivable sur I dont l'application dérivée f' admet en 0, le
développement limité suivant à l'ordre n :
Alors l'application f admet au voisinage de 0, le développement limité d'ordre
n + 1 suivant :
Preuve. Considérons P la fonction polynomiale définie par :
VxE~,
aix 2
anxn+l
P(x) = f(O) + aox + - 2 - + · · · + _n_+_l_
Soit ê un réel strictement positif. D'après l'hypothèse, il existe un réel o: strictement
positif tel que
Vt E I, itl < o: =* llf'(t) - P'(t)ll < c:itln.
Considérons la fonction g définie sur I par
Vt E I, g(t) = êtltnl.
n+l