9.3. DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS
Exemple : En utilisant l'exemple précédent, nous obtenons
1.
2.
3.
9.3.2
1
- - - l r v x
1-x
o '
1
2
---1-xrvx
1-x
o '
1
2
3
- - - 1 - x - x rvx.
1-x
o
Développement limité et dérivation
127
Proposition 9.13 Soit n un entier strictement positif. Si f est n fois dérivable
en 0, alors f admet au voisinage de 0 le développement limité suivant d'ordre
n :
f(n) (0)
f(x) = f(O) + f'(O)x + · · · + - 1 -xn + o(xn).
n.
Preuve. Immédiate avec la formule de Taylor-Young (théorème 8.22).
Exemple:
x
x 2
xn
exp(x) = 1 + - + - + .. · + - + o(xn)
1!
2!
n!
·
Remarques 9.5
Attention! La réciproque est fausse. Nous avons seulement
la proposition 9.14 beaucoup plus faible.
Soit n un entier strictement positif. Considérons l'application f définie sur
lR par f (0) = 0 et
' Cette application admet le développement limité suivant à l'ordre n
Elle est dérivable sur lR avec f' ( 0) = 0 et
' L'application f' n'est pas continue en O. On en déduit que f n'est dérivable
qu'une seule fois en O.