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COMPARAISON LOCALE OU ASYMPTOTIQUE DE FONCTIONS
Proposition 9.11 Soit f une application admettant un développement limité
d'ordre n au voisinage de O.
Si f est paire, tous les termes ak d'indices impairs sont nuls.
Si f est impaire, tous les termes ak d'indices pairs sont nuls.
Preuve. Soit f une application admettant au voisinage de 0, un développement
limité à l'ordre n, avec
Si l'application f est paire ou impaire, l'intervalle I est centré en O. Soit g l'application définie sur I, par
Vx E I, g(x) = f(-x).
L'application g admet le développement limité suivant à l'ordre n,
Si f est paire, alors f = g.
Si f est impaire, alors f = -g.
L'unicité du développement limité à l'ordre n permet de conclure.
Proposition 9.12 Soit n un entier strictement positif. Si f admet un
développement limité d'ordre n ~ 1 au voisinage de 0
et si an =f. 0 alors
Preuve. Considérons c une fonction admettant 0 pour limite lorsque x tend vers
0 et vérifiant
Alors,
D'où,
f(x) - ao - aix - · · · - an-1Xn-l
anxn
an+ c(x)