9.3. DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS
125
Soit p = min{k/ak =F bk}· Nous obtenons
Nous remarquons que, lorsque x tend vers 0, le terme de gauche tend vers (ap -bp)
et celui de droite vers O. Ceci est impossible.
4't
Exemples : On considère les applications fi, h et fa définies par
fi : ] - oo, 1[ ----7 lR
h : ] - 1, +oo[ -----t lR
fa : lR ----7 lR
X
1
1-:z:
X
1
l+:z:
Soit n un entier strictement positif. Nous avons
\tq E lR \ {1},
n
k
1 - qn+l
: L q - - -
k=O
l - q
X
1. L'application fi admet un développement limité à l'ordre n. En effet,
Ainsi,
\tx E] - oo, 1[,
1
n
- - = "'"'xk + xn_x_.
1-x
L,.;
1-x
k=O
1
n
- - = "'"'xk + o(xn).
1-x
L,.;
k=O
2. L'application h admet un développement limité à l'ordre n. En effet,
Ainsi,
\tx E] - 1, +oo[,
1 -:Ln ( l)k k
n(-l)n+lx
- - -
-
X +x
.
1 +X k=O
1 +X
1
n
- - = L(-l)kxk + o(xn).
1 +X k=O
1
l+:z:2
3. L'application fa admet un développement limité à l'ordre (2n + 1). En effet,
\tx E IR,
Ainsi,
1
n
_ _ = "'"' ( _ 1) k x2k + o( x2n+l).
1 + x 2 L,.;
k=O