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or
COMPARAISON LOCALE OU ASYMPTOTIQUE DE FONCTIONS
expx f exp(x + 1).
+oo
9.2 Développements asymptotiques
Définition : On considère f une application à valeurs réelles, définie sur
une partie A de lR. et a élément de iR adhérent à A. On dit que f admet
un développement asymptotique en a, s'il existe un entier naturel n et
( n + 1) applications f o, fi, · · · , f n définies sur A vérifiant
1.
't:/k E {0, 1, · · · (n - 1)}, fk+1 = oa(fk).
2.
f = fo +fi + · · · + f n + Oa(f n)·
Dans la section suivante, nous étudions le développement limité, cas particulier
de développement asymptotique.
9.3 Développements limités
9.3.1 Définition, propriétés
Définition : On considère I un intervalle, a un point de I et f une
application définie sur I et à valeurs réelles. On dit que f admet un
développement limité d'ordre n au voisinage de a, s'il existe un (n + 1)uplet de réels noté (ao, ai,··· , an) tel que,
f(x) = ao + ai(x - a)+···+ an(x - a)n + Oa((x - at).
Le polynôme P défini par
Vx ER., P(x) = ao + ai(x - a)+···+ an(x - a)n
est appelé partie régulière du développement limité.
Remarque 9.4 Dans la suite de la section, sans perdre de généralité, on supposera a= O.
Proposition 9.10 Si f admet un développement limité d'ordre n, celui-ci est
unique.
Preuve. Supposons qu'une application f admette deux développements limités à
l'ordre n distincts