9.1. RELATIONS DE COMPARAISON
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Corollaire 9.6 On considère f et g deux applications à valeurs réelles, définies
sur une partie A de IR, et a un élément de iR: adhérent à A. On suppose qu'il
existe Va voisinage de a vérifiant
Vx EAU Va, g(x) =f O.
Les applications f et g sont équivalentes au voisinage de a si et seulement si
lim f(x) = 1.
x-+a g(x)
Corollaire 9. 7 Soit l un réel non nul. Une application f admet pour limite l
lorsque x tend vers a si et seulement si
f ,._, l.
a
Corollaire 9.8 On considère Ji, h, g1, g2, quatre applications à valeurs
réelles, définies sur une partie A de lR et a élément de iR: adhérent à A. Alors
1.
et h "'92) => fih "'9192·
a
a
2. On suppose qu'il existe Va voisinage de a vérifiant
Alors,
) fi 91
et h "' 92 => - "' - .
a
f2 a 92
Corollaire 9.9 On considère f et g deux applications à valeurs réelles, définies
sur une partie A de IR, et a un élément de iR: adhérent à A. On suppose qu'il
existe Va voisinage de a vérifiant
Vx EAU Va, f(x) > 0, g(x) >O.
Alors,
Vr E IR, f ,._, g => y ,._, gr.
a
a
Remarque 9.3 Attention! La relation ,._, se manie avec précaution. En particulier,
1. elle n'est pas compatible avec l'addition, :
x +./X , . _, x, -x ,._, -x + lnx et pourtant ./X f lnx.
+oo
+oo
+oo
2. Elle n'est pas compatible avec la composition :
X "' X+ 1,
+oo