122
COMPARAISON LOCALE OU ASYMPTOTIQUE DE FONCTIONS
Corollaire 9.2 On considère f et g deux applications à valeurs réelles, définies
sur une partie A de :IR, et a un élément de ïR adhérent à A. On suppose qu'il
existe Va voisinage de a vérifiant
\:/x EAU Va, g(x) =/:-O.
L'application f est négligeable devant g au voisinage de a si et seulement si
9.1.3 L'équivalence
lim f(x) =O.
x--+a g(x)
Définition : On considère f et g deux applications à valeurs réelles,
définies sur une partie A de :IR et a élément de ïR adhérent à A. On dit
que f est équivalente à g au voisinage de a si
f- g = Oa(g).
On note
J rv g.
a
De la proposition 9.1, découle la proposition suivante,
Proposition 9.3 On considère f et g deux applications à valeurs réelles,
définies sur une partie A de :IR et a élément de ïR adhérent à A. L 'application f est équivalente à g au voisinage de a si et seulement si il existe
1. une application a à valeurs réelles définie sur A vérifiant
lim a(x) = 1,
x--+a
2. un voisinage Va de a vérifiant
\:/x E Van A, f(x) = a(x)g(x).
Corollaire 9.4 La relation'"" est une relation d'équivalence.
a
Corollaire 9.5 On considère f et g deux applications à valeurs réelles, définies
sur une partie A de :IR, et a un élément de ïR adhérent à A. On suppose que les
applications f et g sont équivalentes au voisinage de a. Si f admet une limite
en a, alors g admet la même limite en ce point.