9.1. RELATIONS DE COMPARAISON
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Proposition 9.1 On considère f et g deux applications à valeurs réelles,
définies sur une partie A de ~ et a élément de ïR adhérent à A. L 'application f est négligeable devant g au voisinage de a si et seulement si il existe
1. une application e à valeurs réelles définie sur A vérifiant
lim e(x) = 0,
x-+a
2. un voisinage Va de a vérifiant
\:/x E Van A, f(x) = e(x)g(x).
Preuve. On suppose, dans un premier temps, que f = oa(g). On définit sur A
l'application e par
\:/x E A, e(x) = { ;~~~ si g(x) # 0,
Osig(x)=O.
L'application f étant négligeable devant g au voisinage de a, il existe Va voisinage
de a tel que
\:/x E Van A, lf(x)I ::; lg(x)I.
Donc,
\:/xEVanA, g(x)=O=}j(x)=O.
On obtient ainsi
\:/x E Van A, f(x) = e(x)g(x).
Montrons que l'application e admet en a une limite nulle.
Soit a: un réel strictement positif. Il existe un voisinage V~ de A tel que
Soit V~
obtenons,
Ainsi,
\:/x EV~ n A, lf(x)I ::; a:lg(x)I.
Va UV~. Notons que cet ensemble est un voisinage de a. Nous
lim ê(x) =O.
x-+a
La réciproque est évidente.