8.4. CAS DES FONCTIONS À VALEURS DANS UN E.V.N.
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4. En déduire que S est un espace vectoriel de dimension au plus 2.
Solution.
1. Évident à l'aide d'une récurrence.
2. Évident.
3. Elle est trivialement linéaire. Montrons que le noyau est réduit à l'application
nulle. Soit fun élément de ce noyau. On a ainsi f(O) = f'(O) =O. On vérifie
en utilisant l'équation et à l'aide d'une récurrence évidente que
Vn EN, f(n)(O) =O.
Soit x un réel non nul. Pour tout entier naturel n, on note,
llf(n)lloo = sup IJ(n)(t)I,
tE[O,x]
si x est positif et
llf(n)lloo = sup lf(n)(t)I,
tE[x,O]
si x est négatif.
D'après l'inégalité de Taylor-Lagrange, théorème 8.20, nous avons
VnEN,
Montrons que la suite ( 111 introduisons la suite ( Un)nEN définie par
{
Uo = llflloo,
U1 = llf'lloo
Vn EN, Un+2 = lalun+l + lblun.
Montrons par une récurrence double que
Considérons pour tout entier naturel n, la propriété,
Nous avons les propriétés Po et P1. Soit n un entier naturel. Montrons que
Si x est un réel strictement positif,