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FONCTIONS DÉRIVABLES
n implique la proposition au rang ( n + 1). Considérons une application f, ( n + 1)
fois dérivable en a et R l'application définie sur I par
Vt E J,
n+l j(k)( )
R(t) = f(t) - L Ti(t- a)k.
k=O
Cette application est dérivable sur un voisinage de a avec
n+l J(k) ( )
n (j')(k) ( )
R'(t) = J'(t) - L a (t - a)k-l = J'(t) - L
a (t - a)k
k=l (k - l)!
k=O
k!
.
L'application f' est n fois dérivable en a et en utilisant la propriété au rang n,
on a
R'(t) = o(t - at.
Soit é un réel strictement positif. Il existe un intervalle J centré en a tel que,
Vt E J, llR'(t)ll::; elt - aln.
Considérons la fonction g, à valeurs réelles, définie sur J par
Vt E J,
( ) _ e(t - a)lt - aln
g t -
1
.
n+
Cette application est dérivable sur J (voir exercice 8.3 page 93) avec
Vt E J, g'(t) = élt - aln.
En utilisant l'inégalité des accroissements finis (théorème 8.18) et en discutant
suivant la position de t par rapport à a, nous obtenons,
Vt E J, llR(t) - R(a)ll = llR(t)ll::; élt;: : 1 ~+l
On en déduit que
R(t) = o(t - a)n+l.
Exercice 8.8 On considère deux réels a et b et l'équation différentielle
y" = ay' + by.
On note S l'ensemble des solutions sur IR de cette équation différentielle.
1. Vérifier que tout élément de S est une application de classe C 00 sur R
2. Vérifier que S est un sous-espace vectoriel de C 00 (IR,IR).
3. Montrer que l'application cp définie par
cp : s ----t JR2
y 1 - ) (y(O),y'(O)).
est linéaire et injective.