8.4. CAS DES FONCTIONS À VALEURS DANS UN E.V.N.
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Preuve. La preuve se fait par récurrence sur n. Pour n = 0, la propriété est vraie
car la fonction f étant de classe C 1 ' on a
f(b) - f(a) = 1b f'(t)dt.
Soit n un entier naturel. Montrons que la proposition au rang n implique la proposition au rang ( n + 1). L' application f étant de classe cn+ 2 ' nous pouvons intégrer
par parties :
En remplaçant, on obtient la formule exacte au rang (n + 1).
8.4.4 La formule de Taylor-Young
Nous remarquons que, pour ce théorème, les hypothèses sont plus faibles. Pour
les formules de Taylor précédentes, nous obtenons une propriété globale, c'est-àdire sur un intervalle. Pour la formule de Taylor-Young, la propriété est seulement
locale c'est-à-dire au voisinage d'un point a.
Notation
On notera
toute application définie sur un intervalle ouvert I contenant 0 et pouvant s'écrire
sous la forme
où ê est une application définie sur I à valeurs dans E telle que
lim ê(x) =O.
X->Û
Théorème 8.22 (formule de Taylor- Young) Soient n un entier strictement
positif et f une fonction définie sur un intervalle I à valeurs dans un e. v. n. On
suppose que f est n fois dérivable en un point a de I. Alors :
. n f(k)(a)
f(t) = 2:-k 1 -(t - a)k + o((t - at).
k=O
Preuve. Effectuons la preuve par récurrence. Pour n = 1, l'application f est
dérivable une fois et nous retrouvons le développement limité de f en a à l'ordre
1. La propriété est vraie au rang 1.
Soit n un entier naturel strictement positif. Montrons que la proposition au rang