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FONCTIONS DÉRIVABLES
8.4.2 Inégalité de Taylor-Lagrange
Théorème 8.20 (inégalité de Taylor-Lagrange) Si f est une fonction à
valeurs dans un espace vectoriel normé JE définie sur un intervalle compact [a, b]
non réduit à un point, de classe en sur cet intervalle et ( n + 1) fois dérivable
sur l'intervalle ouvert ]a, b[ avec llf(n+l) Il majoré sur ]a, b[ par un réel positif
Mn+l alors:
Ili (b) - ~ J(k~/a) (b- a)kll ::; (::+11), (b- ar+l.
Il/ (a) - ~ J(k~?) (a - b)kl l ::; (::+11)! (b - at+l.
Remarque 8.9 Cette inégalité a un certain nombre d'applications. Citons par
exemple, l'estimation de l'erreur dans la méthode des rectangles, section 13.4. 7,
page 198.
Preuve. Il suffit d'appliquer l'inégalité des accroissements finis théorème 8.18 avec,
pour la première inégalité,
\lx E [a, b],
G( ) = -Mn+l (b _ )n+l
X
(n + 1)! X '
et pour la seconde inégalité,
\lx E [a, b],
n J(k)( )
F(x) = L T k=O
G( ) = Mn+l ( _ )n+l
x
(n + l)! x a
.
8.4.3 La formule de Taylor avec reste intégral (JE Banach)
On peut remarquer que, dans le cadre de la formule de Taylor-Lagrange, les
applications sont à valeurs réelles. Pour la formule de Taylor avec reste intégral,
le cadre est plus général puisque les applications sont à valeurs dans un espace de
Banach (e.v.n. complet). Dans ce cas, la valeur du reste est donnée avec davantage
de précision.
Théorème 8.21 Soit n E N. Si f est une fonction à valeurs dans un espace
de Banach de classe cn+i sur un segment [a, b], alors :
n J(k) ( )
lb J(n+l) (t)
f (b) = L 1 a (b - a)k +
1
(b - tt dt.
k.
a
n.
k=O