8.4. CAS DES FONCTIONS À VALEURS DANS UN E.V.N.
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3. Montrons enfin que sup Ae = b. Supposons pour cela que sup Ae < b. L'application f est dérivable en sup Ae et l'application norme étant continue, on
obtient,
lim I l f(x) - f(supAe) Il= llf'(supAe)ll·
x-+sup A.
X - sup Ae
De plus, l'applicaton g étant dérivable en sup Ae, nous pouvons choisir un réel
0 strictement positif, vérifiant pour tout x élément de ] sup Ae, sup Ae + O],
llf(x) - f(supAe)ll S llf'(supAe)ll+~,
x -supAe
2
t g(x) - g(supAe) > '( A ) ê
e
A
_ g sup e - - 2 .
x - sup e
Nous obtenons pour tout x élément de [sup Ae, sup Ae + O],
he(x) S llf(x) - f(supAe)ll + llf(supAe) - f(a)ll - (g(x) - g(supAe))
-(g(sup Ae) - g(a)) - e(x - sup Ae) - e(sup Ae - a) - ê
S (x - supAeH + (x -supAe) (llJ'(supAe)ll - g'(supAe))
+(x - supAeH - e(x - supAe) + he(supAe)
= (x - supAe) (llf'(supAe)ll - g'(supAe)) + he(supAe)
s o.
Ceci est impossible, donc sup Ae = b. On conclut que,
Ve> 0, llf(b) - f(a)ll - (g(b) - g(a)) S e(b - a+ 1).
En passant à la limite,
llf(b) - f(a)ll - (g(b) - g(a)) S O.
Corollaire 8.19 Soit f une fonction définie sur [a, b] à valeurs dans un espace
vectoriel normé E, continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. S'il existe un réel
M vérifiant
Vx E]a, b[, llf'(x)ll SM
alors
Il! (b) - f (a)ll S M(b- a).
Preuve. Il suffit de considérer l'application g définie sur [a, b] par
Vx E [a,b], g(x) =Mx.