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FONCTIONS DÉRIVABLES
Les hypothèses du théorème de Rolle sont vérifiées. Considérons un élément c E
]a, b[ tel que g'(c) =O. Nous obtenons
A= f(n+l)(c).
En remplaçant A dans l'expression de g, par f(n+ll(c) , puis en écrivant f(b) =
g(a), nous obtenons le résultat désiré.
.ft
8.4 Cas des fonctions à valeurs dans un e. v .n.
8.4.1 Inégalité des accroissements finis
Théorème 8.18 Soient f une fonction définie sur [a, b] à valeurs dans un
espace vectoriel normé E et g une fonction définie sur [a, b] à valeurs dans IR,
continues sur [a, b] et dérivables sur ]a, b[. Si
Vx E]a,b[, llf'(x)ll::; g'(x)
alors
llf(b) - f(a)ll ::; g(b) - g(a).
Preuve. Considérons é un réel strictement positif et la fonction he définie et
continue sur [a, b] par
Vx E (a, b], he(x) = llf(x) - f(a)ll - (g(x) - g(a)) - é(x - a) - é.
Soit
Ae = {x E [a,b]/he(x)::; O}.
Ae est une partie de IR non vide car elle contient a et est majorée par b. Elle admet
une borne supérieure que l'on note sup Ae. Le réel a étant un élément de Ae et le
réel b étant un majorant de Ae, nous avons
a ::; sup Ae ::; b.
1. Le réel sup Ae est élément de Ae. En effet, il existe une suite ( an)nElll d'éléments
de Ae convergente vers supAe. L'application he étant continue, la suite
(he(an))nElll est convergente vers he(supAe)· Or,
À la limite,
he(supAe) ::; O.
2. Vérifions que supAe >a. On a, he(a) = -é. L'application he étant continue
en a, il existe un réel strictement positif a vérifiant,
Vx E (a, a + a],
é
h (x) < -- ê
-
2 -
Donc supAe ~a+ a.