8.3. CAS DES FONCTIONS À VALEURS RÉELLES
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Solution. Soit M un réel positif. Choisissons un réel xo vérifiant
Vy ~ x0 , J'(y) ~M.
En utilisant le théorème des accroissements finis, nous obtenons
Vx ~ xo,
f(x) - f(xo) > M
-
'
X-Xo
donc,
w >
f(x) > M(x - xo) + f(xo).
vX _ Xo,
X
-
X
X
L'application de droite admet M pour limite lorsque x tend vers +oo. Il existe
ainsi un réel X1 ~ xo vérifiant
f(x) > M(x - xo) + f(xo) > M _ 1.
X
-
X
X
-
D'où
lim f(x) = +oo.
x-++oo X
8.3.6 La formule de Taylor-Lagrange
Théorème 8.17 (formule de Taylor-Lagrange) Soit n un entier naturel.
Si f est une fonction à valeurs réelles, définie sur un segment [a, b], de classe
en sur ce segment et (n + 1) fois dérivable sur l'intervalle ouvert ]a, b[, alors il
existe un point c E ]a, b[ tel que :
n f(k) ( )
f(n+l) ( )
f(b)='°'
a (b-al+
c (b-at+i.
~ k!
(n·+ 1)!
Remarque 8.8 Pour n = 0 on retrouve le théorème des accroissements finis.
Ceci prouve que le théorème n'est plus vérifié si JE =f :IR.
Preuve. On considère l'application g définie sur le segment [a, b] par,
Vx E [a, b],
Nous avons g(b) = f(b). Le réel A est choisi tel que g(a) = g(b) = f(b). L'application g est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[ avec
Vx E]a,b[,
n f(k+l)( )
n f(k)( )
A
g'(x) = '°' x (b-x)k- '°' x (b-x)k-l _ -(b-xt
L.J
k!
L.J (k - 1)!
n!
k=O
k=l
= f(n+1>(x) (b - x)n - A (b - xt = (b - x)n (in+i>(x) - A).
n!
n!
n!