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FONCTIONS DÉRIVABLES
Corollaire 8.16 Soient n un entier strictement positif, f une fonction à valeurs réelles, continue sur un intervalle I et n fois dérivable sur I\ { c}, où c est
un point del. On suppose qu'il existe un n-uplet (li, l2, · · · , ln) de ~n vérifiant
\fk E {1,2, ... ,n},
Alors f est n fois dérivable en c et
\fk E {1,2, · · · ,n}, j(k)(c) = lk.
Preuve. Il suffit d'effectuer une preuve par récurrence en utilisant le théorème
précédent.
tft
Exercice 8.6 Soit f: [O, +oo[--+ ~une fonction dérivable. Montrer que si limx->+oo f'(x)::::
l 1 1 .
f(x) _ z
a ors Imx->+oo --;-- - ·
Solution. Soit é un réel strictement positif. Il existe un réel positif x0 vérifiant
\fy 2:: Xo, lf'(y) - li::; é.
En utilisant le théorème des accroissements finis, on obtient
\fx 2:: xo, l - é < f(x) - f(xo) < l + é.
-
X -Xo
-
Ainsi,
( x - xo) (l _ é) + f(xo) ::; f(x) ::; (x - xo) (l + é) + f(xo).
X
X
X
X
X
Nous remarquons que les fonctions de droite et de gauche admettent, lorsque x
tend vers +oo, pour limite respective (l+é) et (l-E:). Il existe donc un réel X1 2:: Xo
vérifiant
D'où le résultat.
Exercice 8.7 Soit f: [O, +oo[--+ ~une fonction dérivable. Montrer que si limx->+oo f'(x) ==
1 1 .
f(x) _
+oo a ors Imx->+oo -x- - +oo.