8.3. CAS DES FONCTIONS À VALEURS RÉELLES
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6. Remarquons qu'en utilisant l'inégalité des accroissements finis, nous avons
Ainsi,
\ln 2: 1, juip(n) - xi = Jcos ((cp(n))°') - cos (0 + 2mr)J ::; JO+ 2mr - (cp(n))°'I
On en déduit que la suite extraite (uip(n))nEN*) est convergente avec,
lim Uip(n) = x.
n-++oo
7. Notons VA l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite (un)nEN*. Nous
venons de montrer que
[-1; 1] c VA.
D'autre part, la suite (un)nEN* étant minorée par (-1) et majorée par 1,
toute valeur d'adhérence de la suite est comprise entre ces deux valeurs. On
en déduit que
VA= [-1;1].
Limites et dérivation
Théorème 8.15 Soit f une fonction à valeurs réelles, continue sur un intervalle I et dérivable sur I \ { c} où c est un point de I. Si la fonction dérivée f'
a une limite notée f, en c, alors f est dérivable en c avec f' (c) = f.
Preuve. Soit (an)nEN une suite d'éléments de I convergente vers c telle que pour
tout entier naturel n, an =f. c. D'après le théorème des accroissements finis, il existe,
pour tout entier naturel n, un réel bn strictement compris entre an et c vérifiant
f(c) - f(an) = J'(bn)·
c-an
La suite (bn)nEN est convergente vers c car pour tout naturel n, nous avons Jc-bnl <
Je - anl· On en déduit que la suite (f'(bn))nEN converge vers l. Nous obtenons
lim f(c) - f(an) = l.
n-++oo
C - an
On en déduit que f est dérivable en c de nombre dérivée l.
Remarque 8. 7 On peut remarquer qu'alors f' est continue en c.