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FONCTIONS DÉRIVABLES
7. Conclure.
Solution.
1. Nous avons
\ln;::: 1, na= exp(alnn).
La stricte croissance des applications exponentielle et logarithme ainsi que
leur limite en +oo permettent de conclure.
2. Utilisons l'inégalité des accroissements finis :
\ln;::: 1, l(n + l)a - nal ~ sup axa-l = ana- 1 .
xE(n,n+l]
D'où le résultat.
3. On considère n un entier strictement positif. Le nombre entier 1 appartient
à An,11· Cet ensemble est non vide. La suite (na)nEN* est croissante et non
majorée. Il existe un entier strictement positif Po vérifiant
Vp;::: Po, Pa>()+ 2mr.
L'ensemble An,11 est une partie de N majorée par Po donc de cardinal fini.
4. Remarquons qu'en utilisant l'inégalité obtenue dans la question 2, nous avons
((n+ 1r~ -na)~ 1.
Pour tout entier n strictement positif,
() + 2( n + 1 )7r ;::: () + 2n7r + 1
;::: (cp(n)t + 1;::: (cp(n))a + [(cp(n) + l t - (cp(n)t] = (cp(n) + lt. (8.3)
On en déduit que l'entier cp(n) + 1 appartient à An+l,11· Ainsi,
cp(n) + 1 ~ cp(n + 1).
L'application cp est strictement croissante.
5. Pour tout entier strictement positif n, nous avons
(cp(n))a ~ () + 2n11" < (cp(n) + l)a.
Ainsi,
0 ~ () + 2n11" - (cp(n))a ~ (cp(n) + l)a - (cp(n))a.
Cette dernière suite est une suite extraite d'une suite convergente vers O.
Elle est également convergente vers O. On en déduit que la suite
((0 + 2n7r) - cp(n)a)nEN*
est convergente vers O.