8.3. CAS DES FONCTIONS À VALEURS RÉELLES
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8.3.5 Applications du théorème des accroissements finis
Sens de variation d'une fonction
Du théorème des accroissements finis on peut déduire le résultat suivant.
Corollaire 8.14 Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
1. La fonction f est croissante (resp. décroissante) sur I si et seulement si
f' (x) 2: 0 (resp. f' (x) :::; 0) pour tout x dans I.
2. La fonction f est constante sur I si et seulement si f' (x) = 0 pour tout
x dans I.
3. Sim:::; f' (x) :::; M pour tout x dans I =[a, b], alors:
m (b - a) :::; f (b) - f (a) :::; M (b - a).
Exercice 8.5 Soit a un réel appartenant à l'intervalle ]O; 1(. On considère la suite
(un)nEN* définie par
Vn 2: 1, Un= cosn°'.
Le but de cet exercice est de montrer que l'ensemble des valeurs d'adhérence de la
suite (un)nEN* est le segment [-1; 1].
l. Montrer que la suite (n°')nEN* est strictement croissante et non majorée.
2. Montrer que la suite
((n + 1)°' - n"')nEN*
est convergente vers O.
Soit x un réel appartenant au segment (-1; 1]. On considère (), l'unique réel
appartenant au segment (O; 7r]. vérifiant
x =cos().
3. Montrer que pour tout entier n strictement positif, l'ensemble
An,8 = {p EN* /p°' :::; () + 2n7r}
est non vide et de cardinal fini.
On considère alors l'application cp définie sur N* à valeurs dans N* par
Vn 2: 1, cp(n) = max{p E N* /p°' :::; () + 2n7r }.
4. Montrer que l'application cp est strictement croissante.
5. Montrer que la suite
((() + 2n7r) - cp(n)"')nEN*
est convergente vers O.
6. En déduire que la suite extraite
est convergente vers x.