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FONCTIONS DÉRIVABLES
D'après le premier théorème de Rolle,
Nous remarquons que tous les points Yi sont distincts des points Xi· L'application f' admet au moins
( t, (ai - 1)) + ( k - 1) = ( n + 1) - k + k - 1 = n
zéros en comptant les ordres de multiplicité.
2. La preuve se fait par une récurrence finie évidente.
8.3.4 Le théorème des accroissements finis
Théorème 8.13 (Accroissements finis) Si f est une fonction à valeurs
réelles, définie sur un intervalle compact [a, b] non réduit à un point, continue sur cet intervalle et dérivable sur l'intervalle ouvert ]a, b[ , alors il existe
un point c E ]a, b[ tel que
J'(c) = f(b~ =~(a).
Preuve. Considérons l'application g définie sur [a, b] par
't:/x E (a, b], g(x) = f(x) - (x - a/(b) - f(a).
b-a
Cette application est continue sur le segment [a, b] et dérivable sur l'intervalle ]a, b[
avec,
't:/x E]a,b[, g'(x) = J'(x) _ f(b) - f(a).
b-a
En remarquant que g(a) = g(b), et en utilisant le théorème de Rolle, nous pouvons
dire qu'il existe un point c appartenant à ]a,b( vérifiant g'(c) =O. Ce point vérifie
ainsi
f'(c) = f(b) - f(a).
b-a
Remarque 8.6 Le théorème de Rolle est un cas particulier du théorème des accroissements finis. Celui-ci n'est donc pas vérifié si JE =f. R Dans le cas général,
pour les fonctions à valeurs dans un espace vectoriel normé E, on a l'inégalité des
accroissements finis (théorème 8.18}.
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