8.3. CAS DES FONCTIONS À VALEURS RÉELLES
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Remarque 8.5 Le théorème n'est plus vérifié si JE"!-~. Prenons, par exemple, la
fonction f définie sur ~ à valeurs dans ~ 2 par
\:/t E ~. f(t) = (cost,sint).
Cette application est dérivable sur ~ avec
\:/t E ~. J'(t) = (-sint,cost).
Pour tout réel t, le vecteur dérivé est non nul. Or f(O) = f(27r).
Définition : On considère f une application définie sur un intervalle I à
valeurs réelles. On dit qu'un élément x de I est un zéro de f si f(x) =O.
Si p est un entier strictement positif, on dit que x est un zéro de f de
multiplicité p si f est (p - 1) fois dérivable en x et
\:/k E {O, · · · , (p - 1)}, j(k)(x) =O.
Théorème 8.12 {Second théorème de Rolle} Soient n un entier strictement
positif et f une application à valeurs réelles, n fois dérivable sur un intervalle
I. Si f a au moins ( n + 1) zéros en comptant les ordres de multiplicité, alors
1. L 'application f', dérivée de l'application f, admet au moins n zéros sur
I en comptant les ordres de multiplicité.
2. L'application f(n) a au moins un zéro sur I.
Preuve.
1. Il existe un entier k compris entre 1 et (n + 1), des éléments xi, x2, · · · Xk
appartenant à I, vérifiant
des entiers strictement positifs ai, a2, · · · ak vérifiant
tels que
k
L:ai=n+l,
i=l
\:/i E {1, 2, · · · , k}, \:/r E {O, 1, · · · , (ai - 1)}, j(r)(xi) =O.
Pour tout entier i compris entre 1 et k, le réel Xi est un zéro de f' de
multiplicité (ai - 1). D'autre part,
\:/i E {1, 2, · · · , (k - 1)}, f(xi) = f(xH1) =O.