104
FONCTIONS DÉRIVABLES
Preuve. Sans perdre de généralité, supposons que la fonction f admette un maximum local en a. Le point a étant intérieur à J, il existe un réel strictement positif
h tel que a + h et a - h appartiennent à I avec,
Vx E [a - h, a+ h], f(x) ~ f(a).
Ainsi, la suite définie pour tout entier strictement positif n par
f(a + ~) - f(a)
!l:.
n
est négative et convergente vers f'(a). On en déduit que f'(a) ~ O. De même la
suite définie pour tout entier strictement positif n par
f(a - ~) - f(a)
-h
n
est positive et convergente vers f'(a). On en déduit que f'(a) > O. Les deux
inégalités permettent d'écrire que f'(a) =O.
Remarque 8.4
1. L'hypothèse indiquant que le point a est intérieur à l'intervalle I est nécessaire. La fonction f : x ~ x définie sur le segment [O; 1]
admet un minimum en 0, un maximum en 1 et la dérivée est non nulle en
ces points.
2. La réciproque de ce théorème est fausse comme le montre l'exemple de la
fonction: x ~ x 3 , dont la dérivée est nulle en 0 mais n'admet pas d'extremum
en ce point.
8.3.3 Les théorèmes de Rolle
Théorème 8.11 (Premier théorème de Rolle} Si f est une fonction à valeurs
réelles définie sur un segment [a, b], continue sur ce segment et dérivable sur
l'intervalle ouvert ]a, b[ avec f (a) = f (b), alors il existe un point c E ]a, b[ tel
que f' (c) =O.
Preuve. Si l'application f est constante alors
Vx E [a, b], J'(x) =O.
Supposons désormais f non constante. Il existe un réel x appartenant à l'intervalle
]a, b[ tel que f(x) =/:- f(a). Supposons par exemple f(x) > f(a). D'après la proposition 5.12, page 55, l'application f admet un maximum global en un point c. Ce
point c est différent de a et b. Il appartient à l'intervalle ]a, b[ et est donc intérieur
au segment [a, b]. Nous avons, d'après le théorème précédent, f'(c) =O.
.ft