8.3. CAS DES FONCTIONS À VALEURS RÉELLES
103
Or,
Vy E] - 1, 1[, arccos(y) E]O, 7r[.
Ainsi,
Vy E] - 1, 1[, sin(arccos(y)) 2: O.
D'où,
Vy E] - 1, 1[,
-1
-1
arccos'(y) =
=
.
yfl - cos2(arccosy) ~
3. L'application tangente est dérivable et de dérivée non nulle sur l'intervalle
J - ~'~[.L'application Arc tangente est dérivable sur lR avec
4. Nous avons,
Vy E IR,
1
arctan' (y) =
.
1 + tan 2 (arctany)
Vy E IR,
1
arctan' (y) = - 1 2 .
+y
Vx E IR, ch'(x) = sh(x).
Cette dérivée est nulle pour x = 1. L'application arg ch est dérivable sur
]1, +oo[ avec,
1
1
Vy E]l, +oo[,
'( )
1
arg ch y = -.,....-----,---,...,...
sh (argch(y))
Jch 2 (argch(y)) - 1
H"=l"
5. Nous avons,
Vx E IR, sh'(x) = ch(x).
Cette dérivée ne s'annule pas sur R L'application arg sh est dérivable sur lR
avec,
Vy E IR, argsh'(y) = ch(ar:sh(y))
1
1
Jy2 + i"
Jsh 2 (argsh(y)) + 1
8.3.2 Dérivée en un extremum local
Théorème 8.10 On considère un intervalle I, f une fonction définie sur I et
à valeurs réelles et a un point de I. Si, l'on a
1. f admet un extremum local au point a,
2. le point a est un point intérieur à l'intervalle I,
3. f est dérivable au point a,
alors f'(a) =O.