102
FONCTIONS DÉRIVABLES
Exemples:
1. L'application Arc sinus est dérivable sur l'intervalle] - 1, 1[ avec,
Vy E] -1, 1[,
. '( )
1
arcsm y= ~·
yl-y2
2. L'application Arc cosinus est dérivable sur l'intervalle] - 1, 1[ avec,
Vy E] -1, 1[,
-1
arccos'(y) = ~· 1-y2
3. L'application Arc tangente est dérivable sur JR avec,
Vy E IR,
1
arctan' (y) = - 1 2 .
+y
4. L'application « Argument cosinus hyperbolique » est dérivable sur l'intervalle
]1, +oo[ avec
Vy E]l, +oo[, argch'(y) = ~· y2 -1
5. L'application « Argument sinus hyperbolique » est dérivable sur JR avec
Vy E IR,
Preuve.
argsh'(y) = k· y2+1
1. L'application sinus est dérivable sur le segment [-~, ~] de dérivée non nulle
sur l'intervalle] - ~,~[.L'application Arc sinus est dérivable sur l'intervalle
] - 1, 1[ avec
Vy E] -1, 1[,
. '( )
1
arcsm y =
. .
cos( arcsm y)
Or,
Vy E] - 1, 1[, arcsin(y) E] - ~, ~[.
Ainsi,
Vy E] - 1, 1[, cos(arcsin(y)) ~O.
D'où,
Vy E] -1, 1[, arcsin'(y) =
1
J1 - sin 2 (arcsin y)
1
J1-y2'
2. L'application cosinus est dérivable sur le segment [O, 7r] de dérivée non nulle
sur l'intervalle ]O, 7r[. L'application Arc cosinus est dérivable sur l'intervalle
] - 1, 1[ avec
Vy E] -1, 1[,
'( )
1
arccos y = .
.
-sm(arccosy)