8.3. CAS DES FONCTIONS À VALEURS RÉELLES
101
L'application 1- 1 étant injective,
Nous savons que 1- 1 est continue sur J. La suite u- 1 (yn))nEN est donc convergente vers 1- 1 (y).
VnEN,
l- 1 (Yn) - 1- 1 (y)
Yn-Y
I [f- 1 (Yn)] - I [l- 1 (y)]
1
L'application I étant dérivable sur I et en particulier en (f- 1 (y)), nous avons
1. Si f'(f- 1 (y)) =I 0 alors
L'application 1- 1 est dérivable en y avec u- 1 )'(y) = f'(J!l(y)).
2. Si f'(f- 1 (y)) = 0 alors
OU-OO
suivant le sens de variation de I. Dans ce cas, 1- 1 n'est pas dérivable en y.