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FONCTIONS DÉRIVABLES
8.2.2 Arc paramétré, arc géométrique
On considère n un entier strictement positif et k un élément de NU { oo }.
Définition : On appelle arc paramétré de !Rn· de classe Ck tout couple
(I, f), où I est un intervalle de IR, et f : I ---+ !Rn une application de
classe Ck. L'ensemble f(I) C !Rn est appelé support de l'arc.
Définition : On dit que deux arcs paramétrés (I, f) et (J, g) de classe
Ck sont Ck-équivalents s'il existe un Ck-difféomorphisme ()de J sur I tel
que g = f o().
Proposition-définition 8.8 On définit ainsi une relation d'équivalence sur
les arcs paramétrés. Chaque classe est appelée arc géométrique de classe
ck' tout- représentant de classe est appelé paramétrage admissible de l'arc
géométrique.
Deux paramétrages admissibles d'un même arc géométrique ont même support,
on parle donc de support d'un arc géométrique.
8.3 Cas des fonctions à valeurs réelles
8.3.1 Dérivée d'une application réciproque
Nous savons que si f est une application continue sur un intervalle I à valeurs
réelles :
1. L'image de l'intervalle I par l'application f est un intervalle J (théorème
6.7, page 62).
2. f réalise une bijection de I sur J si et seulement si f est strictement monotone
(proposition 6.9, page 63).
3. Dans ce cas, f réalise un homéomorphisme entre I et J (proposition 6.13,
page 66).
Proposition 8.9 On considère I, J deux intervalles et f une application
dérivable et bijective de I sur J. L'application 1- 1 est dérivable en y élément
de J si et seulement si le réel f' u- 1 (y)) est non nul et dans ce cas
u-1)'(y) = f' u~l(y)).
Preuve. Considérons (Yn)nEN une suite d'éléments de J convergente vers y et
vérifiant
'