8.2. CAS OÙ JE EST DE DIMENSION FINIE
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La preuve de cette proposition est effectuée page 179.
Corollaire 8.6 On considère I un intervalle non réduit à un point, ta un
élément de cet intervalle, n et p deux entiers strictement positifs et Mn,p(OC)
l'espace vectoriel des matrices de n lignes et p colonnes à coefficients dans K
Une application A définie sur I à valeurs dans Mn,p(OC)
A : I ----t Mn,p
t ~ A(t) = (aii(t))C:~}~;>
est dérivable en ta si et seulement si pour tout i E { 1, 2 · · · , n} et tout j E
{1, 2 · · · ,p}, l'application aii est dérivable en ta, de dérivée notée a~i(ta). La
dérivée de A en ta, notée A' (ta), vérifie alors
A'(ta) = (a~j(t))(1::;;::;n)
1$j$p
Proposition 8. 7 Soient n, p et q trois entiers strictement positifs, I un intervalle non réduit à un point et ta un élément de cet intervalle. Soient A et B
deux applications
I ---+ Mn,p(OC)
t r--+ A(t)
et
I ---+ Mp,q(OC)
t r--+ B(t)
dérivables en ta. L'application AB définie sur I à valeurs dans Mn,q(OC) est
dérivable en ta et
(AB)'(ta) = A(ta)B'(ta) + A'(ta)B(ta).
Preuve. Les applications A et B étant dérivables en ta, elles admettent un développemnt
limité d'ordre 1 :
A(ta + h) = A(ta) + hA'(ta) + héA(h),
B(ta + h) = B(ta) + hB'(ta) + héB(h),
où éA (respectivement éB) est une application qui admet pour limite la matrice
nulle d'ordre (n,p) (resp (p,q)) lorsque h tend vers O. On obtient
A(ta + h)B(ta + h) = A(ta)B(ta) + h(A'(ta)B(ta) + A(ta)B'(ta))
+ h[A(ta)éB(h) + éA(h)B(ta) + hA'(ta)B'(ta)
+ hA'(ta)éB(h) + héA(h)B'(ta) + héA(h)éB(h)]. (8.2)
L'application entre crochets admet pour limite la matrice nulle lorsque h tend vers
O. L'application AB admet un développement limité d'ordre 1 en ta, elle est donc
dérivable en ta et admet pour dérivée en ce point la matrice
A'(ta)B(ta) + A(ta)B'(ta).