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FONCTIONS DÉRIVABLES
Notation: Pour k = 0, on pourra noter (CM[a,b),JE), l'espace vectoriel des
fonctions définies et continues par morceaux sur [a, b] à valeurs dans JE.
Preuve. Soit k un élément de N U { oo}. La première étape consiste à montrer
que tout élément de (CMk[a, b], JE) est une application bornée sur [a, b]. Soit f un
tel élément, a= (ai)O$i$n une subdivision qui lui soit adaptée et des applications
91, 92 · · · , 9n-l telles que pour tout entier i compris entre 0 et (n-1), l'application
9i soit définie et de classe Ck sur [ai, ai+i] avec
Vx E)ai,ai+1[, 9i(x) = f(x).
Soit i un entier compris entre 1 et ( n-1). L'application 9i est continue donc bornée
sur le segment [ai, ai+i]· Considérons Mi un réel vérifiant
Vx E [ai,ai+i], ll9i(x)ll:::; Mi.
Soit
M =max{ Mi,··· , Mn-11 f(ao), · · · , f(an)}.
On obtient,
Vx E [a, b], 11/(x)ll:::; M.
Ainsi, (CMk!a,b],JE) est inclus dans (B[a,b],JE). Montrons qu'il en est un sousespace. (CM [a,b],JE) est non vide puisqu'il contient la fonction nulle. Soient f, 9
deux éléments de (CMk[a, b], JE), À etµ deux réels. Il suffit de choisir une subdivision
adaptée à f et 9 pour vérifier que l'application (>.f + µ9) appartient à l'espace
vectoriel normé (CMk[a, b], JE).
"'
Définition : Soit k un élément de NU { oo }. On dit qu'une fonction f
définie sur un intervalle I à valeurs dans JE est de classe Ck par morceaux, si sa restriction à tout segment inclus dans I est de classe Ck par
morceaux.
8.2 Cas où JE est de dimension finie
8.2.1 Expression de la dérivée par rapport à une base
Soient JE un espace vectoriel normé de dimension finie, B = (eih$i$n une base
de cet espace, f une application définie sur un intervalle I à valeurs dans JE et
(/ih::;i::;n les applications coordonnées de f par rapport à la base B, c'est-à-dire
n
'rit E J, f(t) = L fi(t)ei.
i=l
Proposition 8.5 La fonction f est dérivable en to élément de I si et seulement
si les fi le sont, et, dans ce cas,
n
J'(to) = L f{(to)ei.
i=l