8.1. DÉRIVATION DES FONCTIONS VECTORIELLES
8.1.5 Applications de classe Ck par morceaux
Subdivision
Définition :
1. On appelle subdivision d'un segment [a, b] toute famille finie a =
(ai)O:Si:Sn d'éléments du segment [a, b] telle que
a = ao < ai < · · · < an = b.
2. On appelle pas de la subdivision a, le réel
3. On dit qu'une subdivision a' est plus fine qu'une subdivision a si
tous les éléments de a appartiennent à a'.
Définition : Soit k un élément de NU { oo}. On dit qu'une application
f définie sur [a, b], à valeurs dans JE, est de classe Ck par morceaux,
s'il existe une subdivision a = (ai)O:Si:Sn de [a, b] et des applications
9o, 91 · · · , 9n-I telles que pour tout entier i compris entre 0 et ( n - 1),
la fonction 9i soit définie et de classe Ck sur [ai, aH1] avec
On dit que la subdivision a est adaptée à l'application f.
Si, pour tout entier i, compris entre 1 et (n - 1), l'application 9i est
constante, on dit que l'application f est en escalier.
97
Remarque 8.3
1. Soit f une application de classe Ck par morceaux sur le
segment [a, b]. On peut remarquer que si a est une subdivision adaptée, alors
toute subdivision plus fine est également une subdivision adaptée à f.
2. On en déduit que si f et 9 sont deux applications de classe Ck par morceaux
sur le segment [a, b], dont a et a' sont des subdivisions adaptées respectivement à f et 9, alors (aua') est une subdivision adaptée aux deux applications
f et g.
Notation : On note (CMk[a, b], JE), l'ensemble des applications définie sur
[a, b] à valeurs dans JE et de classe ck par morceaux.
Proposition 8.4 Pour tout élément k de NU { oo }, l'ensemble (CMk[a, b], JE)
est un sous-espace vectoriel de ((B([a,b],JE),+,.) espace vectoriel des applications définies sur [a, b] à valeurs dans JE et bornées.