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FONCTIONS DÉRIVABLES
2. On utilise le résultat précédent en prenant g = f. Ainsi,
Vt E J, llf(t)ll =V< f(t), f(t) > = JS{i)
et
S'(to) = 2 < f'(to), f(to) >.
L'application x f-+ ../X étant dérivable en llf(to)ll =F 0 l'application N est
dérivable en to avec
,
1
,
< f'(to), f(to) >
N (to) = 2 JS(to).2 < f (to), f(to) >=
llf(to)ll
8.1.4 Dérivées d'ordre supérieur
Définition : Si l'application f est dérivable sur un intervalle J( C I)
de longueur non nulle contenant to et si l'application f' est dérivable en
t0 , on dit que f est deux fois dérivable en to. On appelle alors vecteur
dérivée seconde de f en to, le vecteur dérivée de f' en to que l'on note
f"(to) ou f< 2 )(to).
On peut ainsi définir par récurrence, si elles existent, les dérivées successives
de f en to, que l'on note f( 3 )(to), f( 4 )(to), · · ·
Définition : Soit k un entier strictement positif. On dit que l'application
f est k fois dérivable sur I si elle est k fois dérivable en tout point de
I. On appelle alors fonction dérivée kième de f, l'application notée J(k)
définie sur I qui à tout élément t de I associe le vecteur dérivée kième
de f en t.
Remarque 8.2 Par convention, on notera f(o), l'application f.
Il
Définition : Soit k un entier naturel. On dit que l'application f est de
classe ek sur I si elle est k fois dérivable sur I et si l'application J(k) est
continue sur I.
Il
Définition : On dit que l'application f est de classe e 00 sur I si, pour
tout entier naturel k, elle est de classe ek sur I.
Définition : Soient n un élément de N* U { oo} et f une application
définie sur un intervalle I à valeurs dans un intervalle J. On dit que f
est un en difféomorphisme si f est bijective et si f et 1- 1 sont de classe
en.