8.1. DÉRIVATION DES FONCTIONS VECTORIELLES
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= (gof)(xo)+[f(xo + h) - f(xo)] g'(J(xo))+[f(xo + h) - f(xo)] ê2 [f(xo + h) - f(xo)]).
= (gof)(xo)+hf'(xo)g'(f(xo))+h [êi(h)g'(f(xo))]+h [J'(xo) + ê1(h)] [ê2(f(xo + h) - f(xo)]
Nous avons
lim €1(h)g'(J(xo)) = 0
h-+O
et
lim [f'(xo) + hê1(h)] [ê2(f(xo + h) - f(xo))] =O.
h-+O
D'où le résultat.
Exercice 8.4 On considère deux applications f et g définies sur un intervalle I, à
valeurs dans un espace préhilbertien réel E. Soit t 0 un élément de I.
l. On suppose f et g dérivables en t 0 . Montrer que l'application
S: I -----+ lR
t ~ < f(t),g(t) >
est dérivable en to et donner la dérivée de Sen ce point.
2. On suppose f dérivable en to avec f(to) =/.O. Montrer que l'application
N : I -----+ JR+
t ~ llJ(t)ll
est dérivable en t0 et donner la dérivée de N en ce point.
Solution.
1. Les applications f et g admettent un développement limité à l'ordre 1 en t 0 :
f(to + h) = f(to) + hj'(to) + hê1(h)
et
g(to + h) = g(to) + hg'(to) + hê2(h)
où êi, €2 sont deux applications vérifiant limh-+O ê1(h) = 0 et limh-+O ê2(h) =
O. Le produit scalaire étant une forme bilinéaire,
où
S(to + h) =< f(to) + hf'(to) + h€1(h),g(to) + hg'(to) + hê2(h) >
=< f(to), g(to) > +h ( < !' (to), g(to) > + < f(to), g' (to) >) + hê(h)
ê(h) = h < J'(to),g'(to)+ê2(h) > + < €1(h),g(to+h) > + < f(to),ê2(h) >.
Nous avons limh-+O ê(h) =O. L'application S admet un développement limité
à l'ordre 1 en to, elle est donc dérivable en ce point et
S'(to) =< J'(to),g(to) > + < f(to),g'(to) >.