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FONCTIONS DÉRIVABLES
Solution. Remarquons que l'application f est impaire. Nous avons
\:/x ER.+*,
xn+l
f(x) = - 1 .
n+
Ainsi, f est dérivable sur R.+* avec,
D'après l'exercice 8.2, l'application f est dérivable sur R.-* avec
\:/x ER.-*,· J'(x) = J' (-(-x)) = J'(-x) = lxln.
Étude en 0:
f(x)
\:/x f:. 0,
X
Ainsi f est dérivable en 0, de dérivée nulle. On obtient
8.1.3 Dérivée d'une fonction composée
Proposition 8.3 On considère I, J deux intervalles, (JE, li.li) un espace vectoriel normé et deux applications f et g avec
f: I ---t J
X
1----t
f(x),
g: J ---t JE
y 1----t g(y).
Soit Xo un élément de I. Si f est dérivable en xo et g dérivable en f(xo), alors
l'application composée (go!) est dérivable en xo avec,
(go f)' (xo) = !' (xo).g' (f (xo) ).
Preuve. On a
f(xo + h) = f(xo) + hf'(xo) + hê1(h)
avec limh_,o ê1 (h) = 0 et
g(f(xo) + k) = g(f(xo)) + kg'(f(xo)) + kê2(k)
avec limk_,o ê2(k) =O. D'où,
g(f(xo + h)) = g [f(xo) + [f(xo + h) - f(xo)]]