8.1. DÉRIVATION DES FONCTIONS VECTORIELLES
Définition : On dit que l'application f est dérivable sur I si elle est
dérivable en tout point de I. On appelle alors fonction dérivée de f,
l'application notée f' définie sur I, qui à tout élément t de I associe le
vecteur dérivée de f en t.
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Exercice 8.2 Soit I un intervalle ou union finie d'intervalles de longueur non nulle.
On suppose I symétrique par rapport à O. On considère une application f définie sur
J, à valeurs dans un e.v.n. et admettant une parité.
l. Soit x un élément de I. Montrer que si f est dérivable en x, alors f est dérivable
en (-x) et donner, suivant la parité de f, le vecteur dérivé en ce point.
2. Montrer que si l'application f est dérivable sur I, l'application dérivée f' admet
une parité. Laquelle?
Solution.
1. Soit x un point de dérivabilité.
(a) Supposons l'application f paire. Pour tout réel h non nul tel que (-x+h)
appartienne à I,
1
1
1
-;:;,· (f(-x + h) - f(-x)) = -;:;, · (f(x - h) - f(x)) = - -h. (f(x - h) - f(x)).
Ainsi,
lim .!. (f(-x + h) - f(-x)) = -J'(x).
h-+O h
L'application f est dérivable en (-x) de vecteur dérivé f'(-x) = -f'(x).
(b) Supposons l'application f impaire. Pour tout réel h non nul tel que
(-x + h) appartienne à J,
1
1
1
-;:;,· (f(-x + h) - f(-x)) = -;:;, · (-f(x - h) + f(x)) = -h. (f(x - h) - f(x)).
Ainsi,
1 . f(-x+h)-f(-x) _J'()
lm
h
-
X.
h-+O
L'application f est dérivable en (-x) de vecteur dérivé f'(-x) = f'(x).
2. On déduit de la question précédente que si f est dérivable sur I, f' admet
une parité opposée à celle de f.
Exercice 8.3 Soit n un entier strictement positif et f l'application définie par
f: lR ---+ lR
X
t----t
xlxln
n+l ·
Montrer que f est dérivable sur lR et donner sa fonction dérivée.