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FONCTIONS DÉRIVABLES
Nous avons
lim ê{h) =O.
h-+O
Or,
hê(h) = (f(to + h) - f(to)) - ha.
D'où,
f(to + h) = f(to) +ha+ hê(h),
avec limh-+O ê{h) =O.
2. Supposons réciproquement qu'il existe une fonction€ vérifiant limh-+O ê{h) =
0 et
f(to + h) = f(to) +ha+ hê(h).
Alors
1
y;,-U(to + h) - f(to)) =a+ ê{h).
On en déduit que f est dérivable en to de vecteur dérivé a.
Corollaire 8.2 Si f est dérivable en to, alors f est continue en to.
Preuve. Il suffit d'utiliser le développement limité d'ordre 1.
Remarque 8.1 La réciproque est fausse puisque, par exemple, la fonction valeur
absolue est une application 1-lipschitzienne, donc uniformément continue sur IR et
pourtant non dérivable en O.
Exercice 8.1 Soient I un intervalle et t 0 un point de cet intervalle. On considère une
application f définie sur I à valeurs dans un e.v.n. JE, dérivable en to de dérivée f'(to)
et une application À définie sur I à valeurs réelles, dérivable en t0 de dérivée >.'(t0 ).
Montrer que l'application >.j est dérivable en t 0 avec
(>.f)'(to) = >.'(to)f(to) + >.(to)f'(to).
Solution. Pour h réel non nul, nous avons
1
y;,· (>.(to + h)f(to + h) - >.(to)f(to))
1
= >.(to + h).y;,.(f(to + h) - f(to))
>.(to + h) - >.(to) !( )
+
h
. to.
D'où le résultat.