Chapitre 8
Fonctions dérivables
8.1 Dérivation des fonctions vectorielles
Dans ce chapitre, on considère JE un espace vectoriel normé sur OC(= lR. ou C),
I un intervalle ou un réunion finie d'intervalles tous non réduits à un point, t 0 un
élément de I et f une application définie sur I à valeurs dans JE.
8.1.1 Définition
Définition : On dit que f est dérivable en t 0 si l'application
1
h.(f(to + h) - f(to))
admet une limite lorsque le réel h tend vers O. Cette limite est appelée
vecteur dérivé (ou nombre dérivé si JE= JR.) de f en to et noté f'(to).
8.1.2 Développement limité d'ordre 1
Proposition 8.1 Soit a un élément de JE. L'application f est dérivable en to,
de vecteur dérivé a, si et seulement si il existe une application e vérifiant
f(to + h) = f(to) +ha+ he(h),
avec limh_,o e( h) = O.
On dit, dans ce cas, que l'application f admet un développement limité d'ordre
1 en to.
Preuve.
1. Supposons f dérivable en t 0 , de vecteur dérivé a. Considérons la fonction e
définie pour h non nul et « assez petit » par
1
e(h) = h.(f(to + h) - f(to)) - a.