COURS 5
Courbes paramétrées
O
R
πR
2πR
2R
y
x'
M
t
Rt
Ω
H
x
Doc. 4
c’est-à-dire : x(t) = R(t − sin t)
y(t) = R(1 − cos t)
Ces formules définissentl ac ycloïde comme une
courbe paramétrée sur R. On remarque que :
∀t ∈ R x(t +2π)=x(t)+2πR et y(t +2π)=y(t)
ce qui signifie que la cycloïde est invariante par la translation de vecteur 2πR i et qu’il suffit de l’étudier sur
un intervalle d’amplitude 2π.
D’autre part,
∀t ∈ R x(−t) = −x(t)e ty ( − t ) = y ( t )
La cycloïde est symétrique par rapport àl’axe Oy ;i l
suffit de l’étudier sur l’intervalle [0, π].
x 0
π
x
0+2 R
π R
x
0
2 R
y
0
y
0+
0
x
( t ) = R (1 − cos t) 0
y
(t) = R sin t 0
sur [0, π].
Il yaunpoint stationnaire pour t = 0. Remarquons
que pour t ∈ ]0, π[:
y
( t )
x ( t )
=
sin t
1 − cos t
=
1+cos t
sin t
Ce quotient tend vers +∞ quand t tend vers 0p ar
valeurs positives. Il s’ensuit que la tangente au point
M (t)t end vers l’axe Oy quand t tend vers 0. Nous
démontrerons plus tard dans le chapitre 16 que dans
ce cas l’axe Oy est tangent àlacourbe au point M (0).
La symétrie par rapport àl ’axe (Oy)p ermet de reconnaître un point de rebroussementdepremière espèce.
Nous pouvons donc construire l’arcc orrespondant àl ’intervalle [0, π], puis compléter la courbe
par la symétrie et les translations étudiées cidessus.
Pour s’entraîner :ex. 6, 7
3 Courbes en coordonnées polaires
3.1 • Représentation polaired’une courbe paramétrée
Soit P un plan euclidienorienté, muni d’un repère orthonormal direct (O,, i, j).
Une courbe paramétrée de P peut être représentée par des coordonnées polaires
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