Courbes paramétrées
COURS
5
(ρ(t), θ(t)) fonctionsduparamètre réel t,
−− −−→
OM (t) =
− →
f ( t ) = ρ ( t ) u
θ ( t )
où u (θ(t)) = cos θ(t) i +sin θ(t) j
ce quiéquivaut formellement àlareprésentation cartésienne :
x(t) = ρ(t)c os θ(t)
,
y(t) = ρ(t)s in θ(t)
On peut donc théoriquements er amener àl ’étude d’une courbe paramétrée en
coordonnées cartésiennes, mais les propriétés de certaines courbes sont plus clairement mises en évidence par l’usage des coordonnées polaires.
3.1 • Expression de la vitesse
Utilisons le repère polaire
u(θ),, v(θ)
où v(θ) = u(θ +
π
2
). Notons quel es
fonctions θ
→ u (θ)e tθ → v (θ)s ont dérivables et que :
d u
d θ
(θ) = v (θ)e t
d v
d θ
( θ ) = − u ( θ )
On en déduit que si les fonctions t
→ ρ(t)e tt → θ(t)s ont dérivables, la courbe
paramétrée correspondante estdérivable et :
− →
f
( t ) = ρ
( t ) u ( θ ( t )) + ρ(t) θ
(t) v (θ(t))
3.2 • Expression de l’accélération
De même,s il es fonctions t
→ ρ(t)e tt → θ(t)s ont deux fois dérivables, la
courbe paramétrée correspondante estdeux fois dérivable et :
− →
f
(t) = ρ
(t) u (θ(t))+2ρ
(t) θ
(t) v (θ(t))+ρ(t) θ
(t) v (θ(t))−ρ(t) θ
(t)
2
u (θ(t))
soit :
− →
f
(t) =
ρ
(t) − ρ(t) θ
(t)
2
u (θ(t)) +
2ρ
(t) θ
(t)+ρ(t)θ
(t)
v (θ(t))
3.2 • Courbe définie par l’équation polaire θ → ρ(θ)
TI92/Voyage200. Pour tracer une courbe définie par une
équation polaire, passez en MODE Graph POLAR.
Le cas le plussimple estcelui où le paramètre est θ lui-même.
On peut se figurer le mouvement commecelui d’un «radar »qui
tourne autour de l’origine et qui dans chaque direction repère les
points parleur rayon polaire ρ(θ).
−− −−→
OM (θ) =
− →
f ( θ ) = ρ ( θ ) u ( θ )
Si la fonction θ
→ ρ(θ)e st de classe C
2
, lesf ormules précédentes donnent:
− →
f
( θ ) = ρ
( θ ) u ( θ )+ρ(θ) v(θ)
− →
f
(θ) =
ρ
(θ) − ρ(θ)
u (θ)+2ρ
(θ) v(θ)
On peut en déduire quelques propriétés très particulières de ce type de représentation :
• Caractérisonsl at angente en un point régulier par l’angle V = ( u (θ),
− →
f
( θ ))
(Doc. 4) :
tan V =
ρ(θ)
ρ (θ)
(si ρ
(θ) = 0 V = ±
π
2
)
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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(ρ(t), θ(t)) fonctionsduparamètre réel t,
−− −−→
OM (t) =
− →
f ( t ) = ρ ( t ) u
θ ( t )
où u (θ(t)) = cos θ(t) i +sin θ(t) j
ce quiéquivaut formellement àlareprésentation cartésienne :
x(t) = ρ(t)c os θ(t)
,
y(t) = ρ(t)s in θ(t)
On peut donc théoriquements er amener àl ’étude d’une courbe paramétrée en
coordonnées cartésiennes, mais les propriétés de certaines courbes sont plus clairement mises en évidence par l’usage des coordonnées polaires.
3.1 • Expression de la vitesse
Utilisons le repère polaire
u(θ),, v(θ)
où v(θ) = u(θ +
π
2
). Notons quel es
fonctions θ
→ u (θ)e tθ → v (θ)s ont dérivables et que :
d u
d θ
(θ) = v (θ)e t
d v
d θ
( θ ) = − u ( θ )
On en déduit que si les fonctions t
→ ρ(t)e tt → θ(t)s ont dérivables, la courbe
paramétrée correspondante estdérivable et :
− →
f
( t ) = ρ
( t ) u ( θ ( t )) + ρ(t) θ
(t) v (θ(t))
3.2 • Expression de l’accélération
De même,s il es fonctions t
→ ρ(t)e tt → θ(t)s ont deux fois dérivables, la
courbe paramétrée correspondante estdeux fois dérivable et :
− →
f
(t) = ρ
(t) u (θ(t))+2ρ
(t) θ
(t) v (θ(t))+ρ(t) θ
(t) v (θ(t))−ρ(t) θ
(t)
2
u (θ(t))
soit :
− →
f
(t) =
ρ
(t) − ρ(t) θ
(t)
2
u (θ(t)) +
2ρ
(t) θ
(t)+ρ(t)θ
(t)
v (θ(t))
3.2 • Courbe définie par l’équation polaire θ → ρ(θ)
TI92/Voyage200. Pour tracer une courbe définie par une
équation polaire, passez en MODE Graph POLAR.
Le cas le plussimple estcelui où le paramètre est θ lui-même.
On peut se figurer le mouvement commecelui d’un «radar »qui
tourne autour de l’origine et qui dans chaque direction repère les
points parleur rayon polaire ρ(θ).
−− −−→
OM (θ) =
− →
f ( θ ) = ρ ( θ ) u ( θ )
Si la fonction θ
→ ρ(θ)e st de classe C
2
, lesf ormules précédentes donnent:
− →
f
( θ ) = ρ
( θ ) u ( θ )+ρ(θ) v(θ)
− →
f
(θ) =
ρ
(θ) − ρ(θ)
u (θ)+2ρ
(θ) v(θ)
On peut en déduire quelques propriétés très particulières de ce type de représentation :
• Caractérisonsl at angente en un point régulier par l’angle V = ( u (θ),
− →
f
( θ ))
(Doc. 4) :
tan V =
ρ(θ)
ρ (θ)
(si ρ
(θ) = 0 V = ±
π
2
)
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