COURS 5
Courbes paramétrées
• Le point (θ, M (θ)) est stationnaire si et seulement si ρ(θ) = 0e tρ
( θ )=0 .
Dans cette représentation, les points stationnaires sont nécessairement àl’origine !
• Si ρ(θ 0 ) = 0,
lim
θ→θ0
−− −−→
OM (θ)
ρ(θ)
= u (θ 0 ). Àu np assage àl ’origine, qu’il soit
régulier ou stationnaire,latangente est toujours dirigée par le vecteur u (θ 0 ).
j
i
y
x
O
M (u)
u() θ
θ
()
v
V
θ
f
0
()
Doc. 5 Tangente en coordonnées
polaires.
3.3 • Pland’étude d’une courbe
définiepar une équation polaire
Soit unecourbe paramétrée définie par l’équation polaire θ
→ ρ(θ).
3.1 • Périodicité
Il faut bien distinguer les périodes de la fonction θ
→ ρ(θ)e tl es périodes de
la courbe paramétrée θ → M (θ), qui ne peuventê tre que des multiples de π
(rappelons que les points de coordonnéesp olaires
θ, ρ(θ)
et
θ + π, −ρ(θ)
sont confondus.
Si T est unepériode quelconque de la fonction ρ, c’est-à-diresi:
∀θ∈D θ−T ∈D, θ+T ∈D et ρ(θ + T ) = ρ(θ)
la courbe est invariante par la rotation de centre O d’angle T .
En particulier si T = π, la courbe est invariante par la symétrie centrale de
centre O.
Supposonsq u’il existe une période de la fonction ρ de la forme T 1 = 2kπ
avec k ∈ N
∗
. Alors T 1 estaussi une période de la courbe paramétrée. Le point
M (θ)r evient àlamême place après k toursautour de l’origine.
IMPORTANT
En particuliersi:
∀θ∈D, θ−π∈D, θ+π∈D et
ρ(θ + π) = −ρ(θ), alors π estlaplus
petite périoded el ac ourbe paramétrée.
Soit k le plus petit entier strictement positif tel que T 1 = 2kπ soit une
période de la fonction ρ.
• Si k est pair, T 1 est la plusp etite période strictement positive de la courbe
paramétrée.
• Si k est impair et si :
∀θ ∈ D θ − kπ ∈ D , θ + kπ ∈ D et ρ(θ + kπ) = −ρ(θ)
alors la plus petite période strictement positive de la courbe paramétrée est
T 1
2
= kπ :l epoint M (θ)r evient àlamême place après k demi-tours autour
de l’origine.
3.2 • Symétries
Supposons qu’il existe une valeur θ 0 telleque :
• ∀θ ∈ D θ 0 − θ ∈ D et ρ(θ 0 − θ) = ρ(θ)
la courbe est invariante par la réflexion dont l’axe est dirigé par le vecteur
u
θ 0
2
.
• ∀θ ∈ D θ 0 − θ ∈ D et ρ(θ 0 − θ) = −ρ(θ)
la courbe est invariante par la réflexion dont l’axe est dirigé par le vecteur
u
θ 0
2
+
π
2
.
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Courbes paramétrées
• Le point (θ, M (θ)) est stationnaire si et seulement si ρ(θ) = 0e tρ
( θ )=0 .
Dans cette représentation, les points stationnaires sont nécessairement àl’origine !
• Si ρ(θ 0 ) = 0,
lim
θ→θ0
−− −−→
OM (θ)
ρ(θ)
= u (θ 0 ). Àu np assage àl ’origine, qu’il soit
régulier ou stationnaire,latangente est toujours dirigée par le vecteur u (θ 0 ).
j
i
y
x
O
M (u)
u() θ
θ
()
v
V
θ
f
0
()
Doc. 5 Tangente en coordonnées
polaires.
3.3 • Pland’étude d’une courbe
définiepar une équation polaire
Soit unecourbe paramétrée définie par l’équation polaire θ
→ ρ(θ).
3.1 • Périodicité
Il faut bien distinguer les périodes de la fonction θ
→ ρ(θ)e tl es périodes de
la courbe paramétrée θ → M (θ), qui ne peuventê tre que des multiples de π
(rappelons que les points de coordonnéesp olaires
θ, ρ(θ)
et
θ + π, −ρ(θ)
sont confondus.
Si T est unepériode quelconque de la fonction ρ, c’est-à-diresi:
∀θ∈D θ−T ∈D, θ+T ∈D et ρ(θ + T ) = ρ(θ)
la courbe est invariante par la rotation de centre O d’angle T .
En particulier si T = π, la courbe est invariante par la symétrie centrale de
centre O.
Supposonsq u’il existe une période de la fonction ρ de la forme T 1 = 2kπ
avec k ∈ N
∗
. Alors T 1 estaussi une période de la courbe paramétrée. Le point
M (θ)r evient àlamême place après k toursautour de l’origine.
IMPORTANT
En particuliersi:
∀θ∈D, θ−π∈D, θ+π∈D et
ρ(θ + π) = −ρ(θ), alors π estlaplus
petite périoded el ac ourbe paramétrée.
Soit k le plus petit entier strictement positif tel que T 1 = 2kπ soit une
période de la fonction ρ.
• Si k est pair, T 1 est la plusp etite période strictement positive de la courbe
paramétrée.
• Si k est impair et si :
∀θ ∈ D θ − kπ ∈ D , θ + kπ ∈ D et ρ(θ + kπ) = −ρ(θ)
alors la plus petite période strictement positive de la courbe paramétrée est
T 1
2
= kπ :l epoint M (θ)r evient àlamême place après k demi-tours autour
de l’origine.
3.2 • Symétries
Supposons qu’il existe une valeur θ 0 telleque :
• ∀θ ∈ D θ 0 − θ ∈ D et ρ(θ 0 − θ) = ρ(θ)
la courbe est invariante par la réflexion dont l’axe est dirigé par le vecteur
u
θ 0
2
.
• ∀θ ∈ D θ 0 − θ ∈ D et ρ(θ 0 − θ) = −ρ(θ)
la courbe est invariante par la réflexion dont l’axe est dirigé par le vecteur
u
θ 0
2
+
π
2
.
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