Courbes paramétrées
COURS
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Commed ans le cas d’une courbe paramétrée en coordonnées cartésiennes, on
cherche un intervalle d’étude suffisant pour reconstituert oute la courbe par les
différentes symétries ou rotations trouvées.
3.3 • Étude du signe de la fonction θ
→ ρ(θ)
Le sens de variation de la fonction θ
→ ρ(θ)n ’est pas absolument indispensable ;
en revanche, il este ssentiel d’étudier le signe de cette fonction et de repérer ses
annulations, qui correspondentàdes passages àl’origine.
On fera donc un tableaudesigne de ρ(θ).
θ 0
θ 0
π
ρ
+0−
La dérivée ρ
(θ)p eut être utile pour déterminer la tangente en des points particuliers, grâce àlaformule tan V =
ρ(θ)
ρ (θ)
.
3.4 • Branches infinies
X
Y
u() θ
j
y
O
x
θ
Y () θ
X () θ
M ( )
θ
θ
i
( )
v 0
θ
l
0
0
Doc. 6 Asymptote en coordonnées
polaires.
y
x
O
Doc. 7 Cercle asymptote.
Soit θ 0 une valeur telle que lim
θ→θ0
ρ(θ) = ±∞. Les coordonnées de M (θ)d ans
le repère (O,, u(θ 0 ),, v (θ 0 )) sont :
X (θ) = ρ(θ)cos(θ − θ 0 ); Y ( θ ) = ρ ( θ )sin(θ − θ 0 )
Il estclair que lim
θ→θ0
X (θ) = ±∞.
• Supposonsque lim
θ→θ0
Y (θ) = l.
La courbe possède alorsu ne asymptote d’équation Y = l dans le repère
(O,, u(θ 0 ),, v (θ 0 )) (Doc. 5).
• Supposons que lim
θ→θ0
Y (θ) = ±∞. La courbe possèdealors une branche parabolique de direction u(θ 0 ).
Si ρ(θ)a dmet une limite finie r quand θ tend vers ±∞, la courbe est asymptote
au cercle de centre O de rayon |r| (voir exercice 8.f )(Doc. 6).
3.4 • Exemple de courbe définie par une équation polaire
ρ(θ) =
sin θ cos θ
sin θ − cos θ
La courbe paramétrée estdéfinie pour θ ∈ R\
π
4
+ kπ
.
∀θρ ( θ + π ) = − ρ ( θ ):la courbe est entièrement décrite sur un intervalle
d’amplitude π.
∀θρ
π
2
− θ
= − ρ ( θ ): la courbe est symétrique par rapport àlaseconde
bissectrice. Il suffit donc de l’étudier sur l’intervalle
π
4
,
3π
4
.
ρ
(θ) = −
(sin
3 θ +cos
3 θ)
(sin θ − cos θ) 2
 Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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