COURS 5
Courbes paramétrées
y
x
1
0
v
³ p
4
´
p
4
u
³ p
4
´
3p
4
Doc. 8
Signede ρ (θ):
θ
π
4
π
2
3 π
4
ρ ( θ ) + ∞ +0−−
√
2
4
Branche infinie :l im
θ→
π
4
ρ(θ)sin
θ −
π
4
= lim
θ→
π
4
sin θ cos θ
√ 2
2
=
√ 2
4
La courbe (Doc. 7) présente doncu ne asymptote oblique d’équation y =
√ 2
4
dans le repère
O,, u
π
4
,, v
π
4
.
En
π
2
, passageàl’origine avec une tangente dirigée par u (
π
2
)( c’est-à-dire verticale).
En
3π
4
, ρ
(θ) = 0 , la tangente est perpendiculaire à( OM ).
Pour s’entraîner :ex. 8, 9
APPLICATION 2
Limaçons de Pascal
Soit Cl ec ercle de centre I (1, 0) et de rayon1 .U ne
droite Dp assant par Or ecoupe le cercle Ce nu n
point P( éventuellement confondu avec Os iDest
tangente àC ).Onconstruit sur Dd eux points Me t
Nd istincts tels que PM = PN = a , où ae st un réel
strictementpositif fixé.
1) Déterminer une équation polaire de l’ensemble Γ a
décrit par les points Me tN .
2) Étudier Γ a en discutant suivant les valeurs de a.
3) Tracer Γ a pour a ∈{1,2,3,4,5}.
4) Déterminer le lieu des points àt angente verticale de
Γ a lorsque ad écrit R
∗
+ .
1) Le cercle C apour équation polaire ρ = 2cos(θ),
lespoints M et N vérifient donc : ρ M = 2cos θ + a
et ρ N = 2cos θ − a. On observeq ue ρ M (θ + π) =
−ρ N (θ); les points M (θ + π)e tN ( θ )s ont donc
confondus. Lesp oints M et N décrivent la même
courbe Γ a , d’équationpolaire ρ = 2cos θ + a.
2) La période est2 π ,et pour tout θ ∈ R :
ρ(−θ) = ρ(θ). La courbe est symétriquepar rapport
àl ’axe Ox, et il suffit de fairel ’étude sur l’intervalle[ 0 , π ] .
Signe de ρ :
• si a > 2, ρ est toujours strictement positif;
• si a = 2, ρ est positif et s’annule pour θ = π ;
• si a < 2, ρ s’annule pour :
θ = α = Arccos (−
a
2
)( α >
π
2
)
θ0
απ
ρ+0−
3) Figure : Document 8.
4) Points àtangente verticale. Revenons en coordonnéescartésiennes :
x(θ) = (2 cos θ + a)cos θ
y(θ) = (2 cos θ + a)sin θ
x
(θ) = −2sin θ cos θ − (2 cos θ + a)sin θ
= − sin θ(4 cos θ + a)
L’unique points tationnaire, obtenu pour a = 2e t
θ=π n’a pas une tangente verticale. En dehors
de ce cas, la tangente est verticale si et seulement
si x
(θ) = 0. x
(θ)s ’annule pour θ ∈ πZ ou
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Courbes paramétrées
y
x
1
0
v
³ p
4
´
p
4
u
³ p
4
´
3p
4
Doc. 8
Signede ρ (θ):
θ
π
4
π
2
3 π
4
ρ ( θ ) + ∞ +0−−
√
2
4
Branche infinie :l im
θ→
π
4
ρ(θ)sin
θ −
π
4
= lim
θ→
π
4
sin θ cos θ
√ 2
2
=
√ 2
4
La courbe (Doc. 7) présente doncu ne asymptote oblique d’équation y =
√ 2
4
dans le repère
O,, u
π
4
,, v
π
4
.
En
π
2
, passageàl’origine avec une tangente dirigée par u (
π
2
)( c’est-à-dire verticale).
En
3π
4
, ρ
(θ) = 0 , la tangente est perpendiculaire à( OM ).
Pour s’entraîner :ex. 8, 9
APPLICATION 2
Limaçons de Pascal
Soit Cl ec ercle de centre I (1, 0) et de rayon1 .U ne
droite Dp assant par Or ecoupe le cercle Ce nu n
point P( éventuellement confondu avec Os iDest
tangente àC ).Onconstruit sur Dd eux points Me t
Nd istincts tels que PM = PN = a , où ae st un réel
strictementpositif fixé.
1) Déterminer une équation polaire de l’ensemble Γ a
décrit par les points Me tN .
2) Étudier Γ a en discutant suivant les valeurs de a.
3) Tracer Γ a pour a ∈{1,2,3,4,5}.
4) Déterminer le lieu des points àt angente verticale de
Γ a lorsque ad écrit R
∗
+ .
1) Le cercle C apour équation polaire ρ = 2cos(θ),
lespoints M et N vérifient donc : ρ M = 2cos θ + a
et ρ N = 2cos θ − a. On observeq ue ρ M (θ + π) =
−ρ N (θ); les points M (θ + π)e tN ( θ )s ont donc
confondus. Lesp oints M et N décrivent la même
courbe Γ a , d’équationpolaire ρ = 2cos θ + a.
2) La période est2 π ,et pour tout θ ∈ R :
ρ(−θ) = ρ(θ). La courbe est symétriquepar rapport
àl ’axe Ox, et il suffit de fairel ’étude sur l’intervalle[ 0 , π ] .
Signe de ρ :
• si a > 2, ρ est toujours strictement positif;
• si a = 2, ρ est positif et s’annule pour θ = π ;
• si a < 2, ρ s’annule pour :
θ = α = Arccos (−
a
2
)( α >
π
2
)
θ0
απ
ρ+0−
3) Figure : Document 8.
4) Points àtangente verticale. Revenons en coordonnéescartésiennes :
x(θ) = (2 cos θ + a)cos θ
y(θ) = (2 cos θ + a)sin θ
x
(θ) = −2sin θ cos θ − (2 cos θ + a)sin θ
= − sin θ(4 cos θ + a)
L’unique points tationnaire, obtenu pour a = 2e t
θ=π n’a pas une tangente verticale. En dehors
de ce cas, la tangente est verticale si et seulement
si x
(θ) = 0. x
(θ)s ’annule pour θ ∈ πZ ou
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