Courbes paramétrées
0
G 1
G 2
G 3
G 4
G 5
y
y'
x'
x
N
P
M
I
C
D
Doc. 9
si a < 4, pour θ = Arccos (−
a
4
). L’ensemble des
points àt angente verticale estd onc l’axe Ox privé
de l’origine, et l’ensemble des points de coordonnées
(x, y)t elles que :
x = −
a
2
8
y
2
=
a
2
4
1 −
a
2
16
soit : y
2
= −2x
1+
x
2
.
L’équation cartésienne de cet ensemble est :
x
2
+ y
2
+2x =0.
On reconnaît le cercle de centre (−1, 0) de rayon 1
(privé lui aussi de l’origine).
............................................................................................................ MÉTHODE
Pour étudierune courbe définie paramétriquement :
• on détermine l’ensemble de définition ;
• on étudie la périodicité et les symétries éventuelles qui permettent de déterminer un intervalle d’étude àpartir
duquel on pourra reconstituer toutelacourbe ;
• on étudie les variations des fonctions coordonnées sur l’intervalled’étude ;
• on dresse un tableau de variation conjoint des deux fonctions coordonnées ;
• on repère les points stationnaires ;
• on étudie les branches infinies,etenparticulier les éventuelles asymptotes ;
• on tracelapartie de courbe correspondant àl’intervalle d’étude, que l’on complète par les symétries ou autres
transformations trouvées(voir exercice 5).
Pour étudierune courbe définie par une équation polaire :
• on détermine l’ensemble de définition ;
• on étudie les périodes de la fonction θ
→ ρ(θ), d’oùl ’on déduit les éventuelles périodes de la courbe
paramétrée, et les invariances par rotation ;
• on étudie les symétries ;o ne nd éduit un intervalle d’étude àp artir duquel on pourra reconstituer toute la
courbe;
• on étudie le signe de la fonction θ
→ ρ(θ), de préférence àses variations ;
• on repère les passages àl’origine ;
• on étudie les branches infinies, en particulier les éventuelles asymptotes et les branches spirales ;
• on tracelapartie de courbe correspondant àl’intervalle d’étude, que l’on complète par les symétries ou autres
transformations trouvées(voir exercice 8).
...................................................................................................................................................................................................
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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x'
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Doc. 9
si a < 4, pour θ = Arccos (−
a
4
). L’ensemble des
points àt angente verticale estd onc l’axe Ox privé
de l’origine, et l’ensemble des points de coordonnées
(x, y)t elles que :
x = −
a
2
8
y
2
=
a
2
4
1 −
a
2
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soit : y
2
= −2x
1+
x
2
.
L’équation cartésienne de cet ensemble est :
x
2
+ y
2
+2x =0.
On reconnaît le cercle de centre (−1, 0) de rayon 1
(privé lui aussi de l’origine).
............................................................................................................ MÉTHODE
Pour étudierune courbe définie paramétriquement :
• on détermine l’ensemble de définition ;
• on étudie la périodicité et les symétries éventuelles qui permettent de déterminer un intervalle d’étude àpartir
duquel on pourra reconstituer toutelacourbe ;
• on étudie les variations des fonctions coordonnées sur l’intervalled’étude ;
• on dresse un tableau de variation conjoint des deux fonctions coordonnées ;
• on repère les points stationnaires ;
• on étudie les branches infinies,etenparticulier les éventuelles asymptotes ;
• on tracelapartie de courbe correspondant àl’intervalle d’étude, que l’on complète par les symétries ou autres
transformations trouvées(voir exercice 5).
Pour étudierune courbe définie par une équation polaire :
• on détermine l’ensemble de définition ;
• on étudie les périodes de la fonction θ
→ ρ(θ), d’oùl ’on déduit les éventuelles périodes de la courbe
paramétrée, et les invariances par rotation ;
• on étudie les symétries ;o ne nd éduit un intervalle d’étude àp artir duquel on pourra reconstituer toute la
courbe;
• on étudie le signe de la fonction θ
→ ρ(θ), de préférence àses variations ;
• on repère les passages àl’origine ;
• on étudie les branches infinies, en particulier les éventuelles asymptotes et les branches spirales ;
• on tracelapartie de courbe correspondant àl’intervalle d’étude, que l’on complète par les symétries ou autres
transformations trouvées(voir exercice 8).
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Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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